Lze\ opsat\  kružnici\ (tětivový) ⇔ α+γ=β+δ=π\

Zadání

Kružnice\ k_1(S_1;r_1), k_2(S_2;r_2), r_1>r_2, se\ vně\ dotýkají\ v\ bodě\ T.\ Jedna\ jejich\ vnější\ tečna\
se\ dotýká\ k_1\ a\ k_2\ postupně\ v\ bodech\ A\ a\ B,\ druhá\ vnější\ tečna\ v\ bodech\ D\ a\ C.\ Dokažte,\
že\ čtyřúhelník\ ABCD\ je\ dvojstředový\ a\ že\ T\ je\ střed\ kružnice\ vepsané.

S_1

T

k_1

S_2

k_2

A

B

D

C

M

α

γ = β

δ=α

1)\ Čtyřúhelník\ ABCD\ je\ symetrický\ podle\ osy\ o_1\ a\ zároveň\ AD∥BC\
2)\ ∡ DAM = α.\ Protože\ ∡ DAM\ a\ ∡CBM\ je\ dvojice\ souhlasných\ úhlů\ platí:\
∡ DAM = ∡CBM.\
3)\ ∡ABC=β.\ Víme,\ že\ (α+β=180°) ⇒(β=180°-α).\
4) Zmíněná\ symetrie\  viz\ 1)\ nám\ zajístí\ “překlopení”\ úhlů\  a\ dostáváme:\
∡BCD = γ = β, ∡CDA = δ = α\
5)\ α+γ=β+δ=180°.

Důkaz kružnice opsané

Důkaz kružnice vepsané

U\ Δ\ leží\ střed\ kružnice\ vepsané\ na\ osách\ úhlu.\
Zde\ budeme\ dokazovat,\ že\ bod\ T,\ který\ je\
potencionálně\ středem\ kružnice\ vepsané,\
leží\ na\ osách\ vnitřních\ úhlů\ čtyřúhelníku.

Odbočka k úsekovému úhlu

K

L

I

S

2ω

M

ω

o_1

δ

1)\ Čtyřúhelník\ ABCD\ je\ symetrický\ podle\ osy\ o_1\ a\ zároveň\ AD∥BC\
2)\ Víme,\ že\ tečna\ CM\ je ⊥ na\ poloměr\ k\ daným\ kružnicím\ (r_1,\ r_2) ⇒\
⇒∡CDE = 90° = ∡CDS_2\
3)\ ∡CDT = δ\ a\ z\ vlastností\ obvodových\ a\ úsekových\ úhlů\ plyne:\
∡CDT = ∡DAT =δ.\
4)\ Využijeme\ symetrie\ podle\ o_1\  potom\ platí:\
(∡CDT = ∡BAT = δ) ∧(∡DAT =∡ADT = δ ).\
5)\ Vidíme,\ že\ |TD|\ nám\ půlí\ ∡CDA\ resp.\ |TA|\ půlí\ ∡DAB,\
proto\ |TA| ∧|TD|\ jsou\ osy\ úhlu.\
Analogicky\ pro\ ∡DCB\ a\ ∡CBA.\
6)\ Bod\ T\ leží\ na\ osách\ úhlu ⇒ T\ je\ střed\ kružnice\ vepsané.

δ

δ

Kružnice\ a(S;r).\ Přímka\ p_2\ je\ tečnou\ kružnice\ a\ v\ bodě\ L.\ ∡KLI\ se\ nazývá\ úsekový\ úhel\ vzhledem\ k\ oblouku\ KL.\
Velikost\ středového\ úhlu\ (∡KSL)\ je\ dvojnásobkem\ velikosti\ obvodového\ úhlu\ (∡KML).\
Úhel\ úsekový (∡KLI)\ je\ shodný\ s\ úhlem\ obvodovým\ (∡KML).

T = (-5.261751490296373, 1.3732683359710736)
S_2 = (-3.7719447490974023, 1.3525765756766457)
p = Line(S_2, T)
k_2 = Circle(S_2, T)
S_1 = Point(p)
k_1 = Circle(S_1, T)
f_2, g, j, k = Tangent(k_2, k_1)
A = Intersect(k_2, f_2)
B, E_1 = Intersect(k_1, f_2)
D = Intersect(k_2, g)
C, F_1 = Intersect(k_1, g)
h = Segment(B, C)
i = Segment(A, D)
l = Segment(A, B)
m_1 = Segment(C, D)
n = OrthogonalLine(T, l)
G = Intersect(n, l)
a_2 = true
H = (-7.289543999150522, 1.1870424933212045)
I = (-4.9927586064687794, 1.2077342536156346)
c = Circle(H, I)
q = Line(H, I)
J = Point(q)
d = Circle(J, I)
r, s, t = Tangent(c, d)
K = Intersect(c, r, 1)
L = Intersect(d, r, 1)
N = Intersect(c, s, 1)
e = Segment(K, N)
O = Intersect(d, s, 1)
j_1 = Segment(O, L)
P = Intersect(q, r)
Q = Point(r)
R = Point(s)
h_1 = Segment(Q, P)
i_1 = Segment(P, R)
S = Point(q)
U = Point(q)
α = Angle(N, K, L)
β_1 = Angle(O, L, P)
β = Angle(K, L, O)
γ = Angle(L, O, N)
δ_1 = Angle(O, N, K)
o_1 = Segment(S, P)
f = false
o = false
E_2 = Midpoint(K, L)
b = OrthogonalLine(E_2, h_1)
F = Intersect(b, o_1)
c_1 = Circle(F, Segment[F, K])
l_1 = Segment(T, A)
n_1 = Segment(T, D)
p_1 = Segment(T, B)
q_1 = Segment(T, C)
u = false
M_1 = (8.187892701083207, 0.2766050403662757)
V = (11.664108430547467, 0.1317627183052647)
f_1 = Segment(M_1, V)
W = (10.215685209937359, -1.6270369067212977)
ω = Angle(M_1, V, W)
g_1 = Segment(W, V)
r_3 = OrthogonalLine(V, g_1)
Z = Midpoint(M_1, V)
s_1 = OrthogonalLine(Z, f_1)
A_1 = Intersect(r_3, s_1)
a = Circle(A_1, Segment[A_1, M_1])
B_1 = Point(r_3)
ε = Angle(W, V, B_1)
t_1 = Segment(A_1, M_1)
ζ = Angle(M_1, A_1, V)
C_1 = Point(a)
a_1 = Segment(V, C_1)
b_1 = Segment(C_1, M_1)
η = Angle(M_1, C_1, V)
D_1 = Point(r_3)
G_1 = Point(r_3)
H_1 = Point(r_3)
d_1 = Segment(G_1, H_1)
r_2 = Segment(S_2, D)
g_2 = Segment(S_2, A)
r_1 = Segment(S_1, C)
h_2 = Segment(S_1, B)
M = Intersect(f_2, g)
I_1 = Point(f_2)
J_1 = Point(g)
e_1 = Segment(I_1, M)
i_2 = Segment(M, J_1)
j_2 = Line(M, S_2)
K_1 = Point(j_2)
l_2 = Segment(K_1, M)
δ = Angle(T, D, C)
m = Ray(S_2, D)
E = Point(m)
m_2 = Segment(D, E)
θ = Angle(C, D, E)
κ = Angle(T, A, D)
ι = Angle(A, D, T)
λ = Angle(B, E_1, A)
μ = Angle(B, A, T)
n_2 = Line(W, V)
L_1 = Point(n_2)
p_2 = Segment(W, L_1)